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[文秘网站的龙头__-__论文： -/article/ktlw/Index.html ] 【摘要】 已知矩阵特征值,分析有关矩阵的问题;讨论矩阵特征值在线性代数中的应用;
【关键词】 矩阵对角化 特征值 特征向量
矩阵的特征值在高等代数中的应用非常广泛,作用也相当重要.常见的矩阵运算可以直接求出结果,但是另外一些复杂的矩阵需要先变形化简才可以方便的计算出结果.下面来讨论有关特征值方面的题型.
一、利用特征值求方阵的高次幂
若求一个n阶矩阵A的高次幂 ,直接计算的话是不容易计算出结果的.但是我们可以应用简便方法来求矩阵的高次幂.
当这个n阶矩阵A可以对角化时，再计算其高次幂 ,就会有简单方法。
若存在可逆矩阵P使得 = .
即有 则 而 ，故 例1 已知 ，求 。
解: 我们可以求出 ，所以A的特征值为 。对应于 有两个线性无关的特征向量 。对应于 。
故A可对角化，则 ， 所以 例2 已知 ，求 的值。
解: （同例1）可以先求出A有三个互异的特征值为 ，故存在可逆阵P,
使
而
故 。
二、利用特征值将矩阵化为对角矩阵
例3 判断下列矩阵A是否与对角矩阵相似,如果相似,求出相似变换矩阵P,使 为对角矩阵. 解: 由 得A的全部特征值为 .
当 时,解齐次线性方程组(A-E)X=0,由A-E= 得A的对应与特征值1的两个线性无关的特征向量 .
当 时,解齐次线性方程(A+2E)X=0,A+2E= 得A的对应特征值-2的一个特征向量 ,可见A有三个线性无关的特征向量,故可对角化.令P= ,则 .
例4 设n阶矩阵A使 ,证明A可对角化.
证明: 设A的特征值为 ,对应的特征向量 ,则 ,由 可得, ,即A的特征值为 或 .因为 ,所以有(A+E)(A-E)=0.
如果 是A的特征值,而 不是A的特征值,则 ,从而A-E可逆,故A+E=0,即A=-E,A可对角化.
如果 是A的特征值,而 不是,同理可得,A=E,即A可对角化.
如果 和 都是A的特征值,因为(A+E)(A-E)=0,所以有，
R（A+E）+R（A-E） n,且R（A+E）+R（A-E）=R（A+E）+R（A-E） R（A+E+E-A）=R（2E）=n.由此，R（A+E）+R（A-E）=n，于是有[n-R（A+E）]+[n-R(A-E)]=n, 故A可以对角化。
三、已知某矩阵的特征值求该矩阵
矩阵特征值可以应用于矩阵对角化中,它在其他方面也有广泛的应用. 下
面来讨论已知特征值,计算与矩阵有关的问题.
例5设三阶实对称矩阵A的特征值为 ，对应于 ，求A。
解: 根据我们所学习过的定理:如果（A为三阶实对称矩阵，故必可对角化）。
又因为 是A的二重特征值，故与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个，设为 ，并且 都和 是正交的。
设所求特征向量为 ，则 ，即 由 得 。
规范化，得 ， 。
作正交矩阵 。
则 ，有 ，
所以， = 四、利用矩阵特征值求另一矩阵的相似对角矩阵
例6 已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵 ，
试求：矩阵D的特征值及其相似的对角矩阵。
解: 因为三阶方阵A有三个相异的特征值1，-1，2，故存在可逆
矩阵P，使 ，
则 。
从而 ，
所以
于是D的特征值为-4，-6，-12，
故可得,与矩阵D相似的对角矩阵为 。
五、已知n阶方阵A的特征值,求方阵A的主对角线元素之和及行列式|A|的值
例7 设n阶方阵A= 的n个特征值为 ,试求:
(1)方阵A主对角线上的元素之和 ;
(2)行列式|A|的值.
分析: 因为 是A的n个特征值,即特征方程|A- E|=0的n个根为 ,故 ……(1)
另一方面,方阵A的特征多项式是 ……（2）
下面只要求出 与 即可.
1)、行列式|A- |是取自不同行和不同列的n个元素的乘积之代数和,其中必有一项是主对角线上的元素乘积 ,其余各项至少有一个元素 ( )不在主对角线上.含元素 的项的乘积中就不再含i行,j列的其余所有元素,亦即一定不含 与 .因此在这样的项中至多包含n-2个主对角线上的元素,所以这些项中 的次数最多是n-2次,因此特征多项式 中含 的n次与n-1次的项只能在 的项中出现。 乘积 中 的系数是 即 ,比较式（1）,式（2）中 的系数,
得 ,
故 .
2)、在式（2）中,令 得,特征多项式 常数项为 ,则有 =|A|.
比较式（1）,式（2）中的常数项系数,
故可得，|A|= .
参考文献
[1]谢延波，王爱茹，杨中兵，线性代数同步测试（第1版）[M]，东北大学出版社2002.8
[2]刘光祖，刘迎洲，线性代数典型题解析及自测试题（第1版）[M]，西北工业大学出版社2002.8
[3]赵德修，孙清华，线性代数题解精选（第1版）[M]，华中科技大学出版社2001.5
[4]李启文，谢季坚，线性代数内容方法与技巧（第1版）[M]，华中科技大学出版社2003.7
Discussion about the characteristic value of matrix
Yan bin
Hubei Normal University Mathematics and applied mathematics Hubei Huangshi 435002
Abstract Known matrix identity value, Analysis of the problem matrix; Matrix of value online discussion of the application of algebra
Keywords Opposite angle of matrix, Characteristic value, Vector quantity of the characteristic.
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