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微分中值定理的证明、推广以及应用
1引言
在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定论文联盟http://wWw.LWlm.Com理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 (a,b),由 推广到了区间（-∞，+∞） ，由f（a）=f（b） 推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.
2罗尔定理
若函数f满足如下条件：
f在闭区间［a，b］上连续,
f在开区间（a，b）内可导,
f（a）=f（b）
则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.
2.1罗尔定理的推广
定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有限或 ）±∞,
则c∈ ,使得f、（c）= 0.
证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A ,则f、（x）=0,所证显然成立.
若f（x）=A不成立,则存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠A,
设f(x0) ＞A （对f(x0) ＜A 同理可证）,
由于=A,
因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(A＜μ＜f(x) ）,
x1∈(a,x0 ),x2 (x0 ,b),
使得f（x1）=f（x2）=μ,
在闭区间［x1,x2 ］上用罗尔定理,
可得使得f、（c）0,
再证A+∞,的情形（A=-∞, 的情形,同理可证）.
由于 =+∞,
取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0) ,
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