谈曲线积分与曲面积分的运算

在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。
　　一、曲面积分的运算
　　(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算
　　第二类曲面积分 也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:
　　1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母 按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变;
　　2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。
　　若 满足上述轮换对称性,
　　
　　则
　　上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。
　　例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。编辑：www.ybask.Com 。

　　解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。
　　,其中Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4
　　因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故
　　又因在Σ1上有z=0,
　　于是
　　
　　
　　
　　从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。
　　(二)高斯公式法
　　定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数
　　P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

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