| 发掘不等关系解（证）等式问题 |
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中国论文联盟*编辑。 相等和不等是一对既对立又统一的矛盾，它们在一定条件下可以互相转化.数学中的一些相等问题，如求值、等式证明、解方程(组)等，若直接求解有困难，不妨从相等的条件中发拙不等关系，以不等为突破口，往往能使问题获得巧妙的解法.兹举例说明.
一、从二次根式中发掘不等式关系
对于含有二次根式的等式问题，首先要考虑二次根式的被开方数非负，由此建立不等关系.
例1 已知y=x2-25x-4-x2-24-5x+2,则x2+y2= .(2000年重庆市初中数学竞赛试题)
解析：本题若直接代入求解，则难以奏效，由二次根式的被开方数非负得x2-25x-4≥0且x2-24-5x≥0，由此可得x2-2=0即x2=2进而可得y=2，从而x2+y2=2+22=6.
评注：不等关系的发掘是解决本题的关键.
例2 设等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x2+xy-y2x2-xy+y2的值为 .(1991年全国初中数学竞赛试题)
解析：已知式有3个字母，关系较为复杂，x、y的关系不易求得，可由二次根式的被开方数非负建立不等关系寻求突破口.由a(x-a)≥0,
a(y-x)≥0,
x-a≥0,
a-y≥0可得a≥0,
a≤0,则a=0，代入已知式得x--y=0，则x=-y，故原式=3y2-y2-y2y2+y2+y2=13.
二、从整数中发掘不等关系
对涉及方程有整数根的问题，可利用整数的性质发掘不等关系.
例3 求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整数根.(1990年上海市初中数学竞赛试题)
解析：本题若直接去分母，将得到一个难解的高次方程，注意到原方程的特点，由x是正整数得1x>1x+1>1x+2，则由原方程得9x+2<13360<9x，即28133 例4 若a、b、c是非负整数，且29a+30b+31c=336，则a+b+c=().(2006年江苏省 [1] [2] [3] [4] [5] 下一页 |
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