| 一些新的代数不等式 |
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中国论文联盟*编辑。 本文旨在介绍一些新的代数不等式，期冀为中学数学教研注入一股新鲜活力.
命题1 若a,b为满足a+b=1的正数，则a+1b+b+1a≥10.
证明：原不等式等价于a+1b+2•(a+1b)(b+1a)+b+1a≥101a+1b+2ab+1ab+2≥9.因1a+1b=(a+b)(1a+1b)≥4，故只要证ab+1ab≥174.因ab≤(a+b2)2=14,故ab+1ab=ab+116ab+1516ab≥12+1516ab≥12+154=174.
综上，原不等式成立.
猜想1 若a,b,c为满足a+b+c=1的正数，则a+1b+b+1c+c+1a≥30.
命题2 若a,b为满足a+b=1的正数，λ≥0，则(a+λ+b+λ)(1a+1b)≥41+2λ.
证明：原不等式等价于(a+λ+2•(a+λ)(b+λ)+b+λ)(1a+2ab+1b)≥16(1+2λ)(1+2λ+2ab+λ+λ2)(1ab+2ab)≥16(1+2λ)(1+2λab+21+λ+λ2ab)•(1ab+2)≥16(1+2λ).因ab≤14,故(1+2λab+21+λ+λ2ab)(1ab+2)≥(2+4λ+21+4λ+4λ2)(2+2)=8［1+2λ+(1+2λ)2］=16(1+2λ).
综上，原不等式成立.
类似可证《数学通报》2008年9月号问题1752之推广
命题3 若a,b,c，λ为正数，则1+λba+1+λcb+1+λac≥31+λ.
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