【论文关键词】金融风险　极值理论　贝叶斯　MCMC

　　【论文摘要】本文研究用Bayes估计计算金融风险值,帮助投资者依据观测数据和信息对风险模型进行调整,使得风险模型能够更准确地反映出金融市场的风险状况,据此做出更加正确的投资决策。

　　近年来VaR和ES已经成为金融界广泛应用的风险测度方法。VaR(Value atRisk)即在一定的概率水平下,证券组合在未来特定一段时间内的最大可能损失。VaR的优点是将不同的市场因子、不同市场的风险集成为一个数,能准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失,适应了金融市场发展的动态性、复杂性和整合性的趋势。但VaR本身存在一些不足,一是没有考虑到尾部风险,即损失超过VaR值的风险;其次,不是一致的风险度量下具。Aitzner(1997)提出了Expected Shortfall(ES)的概念, ES度量损失超过VaR的损失期望信度,它是一致的风险度量下具。目前国内大多数投资者还是直接投资于股市,而个股的波动性远远大于股指的波动性,因此,极值VaR和ES对于个股的研究是很有意义的,本文尝试使用POT模型来估计我国股市中单个股票的VaR和ES。

　　1　基于POT模型的VaR和ES

　　极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种常用方法,它具有超越样本数据的估计能力,并可以准确地描述分布尾部的分位数,这些对于精确计算VaR和ES都是非常有帮助的。POT(peaks over threshold)模型是极值理论中最有用的模型之一,它对所有超过某一充分大阈值的样本数据进行建模,因而有效地使用了有限的极端观测值。本文使用基于广义帕累托分布的参数POT模型,在此基础上估计出损失分布相应的分位数,以计算VaR和ES。

　　通常的GPD模型参数估计方法有极大似然估计法、矩估计和概率加权矩方法。已有的研究证明极大似然法在大样本条件下比其它方法更加有效;矩估计和概率加权矩方法统计计算,但仅在ζ<0. 5时适用,因为GPD分布的方差仅在此时存在。同样,极大似然估计法仅在ζ>-1时适用。此外,基于经典统计学的VaR估计方法是一种向后看的方法一对未来的损失完全基于历史数据,并假定变量间过去的关系在未来保持不变,显然,许多情况下,这与人们的实际经验是有出入的,市场未来未必重复过去,即使观测数据完全精确,也无法保证将来不会发生过去从未发生过的、令人措手不及的事情。因此,本文采用一种更为有效的方法,贝叶斯估计,只对有代表性的厚尾分布(ζ>0 )的情形进行讨论,此时β>0, 令 ,设β,τ相互独立,并有以下先验分布,即ζ~Pareto(a, c) ;τ~Gamma(a, b),其中a、c为帕累托分布的参数, a、b为伽玛分布的参数。根据贝叶斯法则,ζ和τ的后验分布为:

　　f(ζ,τ|x)∝L(x |ζ,τ)f(ζ)f(τ)(2)

　　其中, L(x|ζ,τ)为似然函数,样本信息同过似然函数进入估计的过程。对以上后验分布,无法直接估计出其参数。为此,借助马尔科夫蒙特卡洛模拟方法(MCMC)来计算E(ζ|x)和E(τ|x)。MCMC的基本思想是模拟一条马尔科夫链的样本路径,链的状态空间是被估计参数的值,链的极限分布为被估计参数的贝叶斯后验分布。在充分迭代后,马尔科夫链收敛于一个平稳的目标分布,而不依赖于原始状态。将前面测试期阶段的n个状态滤去,剩下的链将作为目标后验分布的样本。Gibbs抽样是最简单、应用最广泛的MCMC方法,在实际应用中使用非常方便。上述的后验分布的构造和MCMC模拟都是基于一个较为成熟的软件W inbugs上实现的。

　　2　实证分析

　　2. 1　数据描述

　　我过证券市场10多年来,交易制度发生了很大的变化,特别是1996年12月16日以后实行了涨跌停板制度后,股价行为表现出明显的阶段性,这一点已为国内诸多学者的相关研究所证实。因此,本文选取1996年12月16日至2007年1月9日的上证综合指数(SHCI)日收盘价为研究对象,对其收益率的损失序列建模。SHCI的基本统计特质征:均值为-0. 000454、标准差为0.016543;偏度为0. 332547,其具有左偏性;峰度为8. 186027,大于3。所以其分布是有偏的、有峰的。同时其J-B统计量为3103. 974,相伴概率为0,拒绝分布为正态分布的原假设。

　　2. 2　阈值的确定

　　在实证中,通常结合QQ图、平均超额函数图及Hill来确定阈值。由SHCI的正态QQ图以及指数QQ图我们可以看出, SHCI的尾部是厚尾的,相应的GPD模型的形状参数ζ是大于零的。而根据平均超额函数图及Hill图我们可以初步对阈值估计,再根据Cramer-von统计量W2和Anderson-Darling统计量A2我们可以精确的得到其阈值u=0. 01783383,超限个数Nu=207来拟合GPD模型。

　　2. 3　参数的估计

　　WinBUGS是一种建立和分析贝叶斯概率模型的程序模块。基于对话框和菜单按钮,给用户提供了一个用马尔可夫链蒙特卡罗方法分析模型的界面。我们利用这个软件对POT模型进行仿真。首先从条件后验分布中抽取样本,然后用得到的样本对模型的参数进行估计。在模型的分析过程中,MCMC收敛性诊断是很重要的,模拟时绝不能简单通过大量迭代作为预迭代。在判断MCMC收敛性方面,W inBUGS可通过对参数进行多层链式迭代分析来判断,即输入多组初始值,形成多层迭代链,当参数模型收敛,则迭代图形结果趋于重合。

　　本文对模型输入两组初始值进行迭代,进行2000次预迭代后,由图(2)我们可以看出两组初始值的迭代形成两条链的轨迹以及在收敛性诊断图中趋于重合,并且收敛性诊断图收敛与1,我们可以判断出马尔科夫链是收敛的。

　　2. 4　极值VaR和ES的估计

　　将基于Bayes和MLE估计得到的POT模型参数的估计值代入公式(6),即可得到相应水平下的SHCI的VaR和ES的估计值。

　　表(1)中,基于贝叶斯估计下的SHCI各置信水平下的VaR和ES值均大于基于极大似然估计下的SHCI各置信水平下的VaR和ES值,这是由于Bayes方法把分布参数看作是随机变量,这实际上是在资产的收益率分布中增加了不确定性,因此计算出的风险值大于经典统计估计下的值。

　　3　结论

　　由于金融市场瞬息万变,离现在越久远的数据与当前市场情况的相关性越低,早期的数据只能用来说明历史问题,而根本不能用来描述现在,基于经典统计学的方法过分依赖历史数据,显然无法保证VaR模型的精度和有效性。而利用Bayes估计计算VaR,将经验和历史资料与观测数据结合起来,使得投资者能够根据观测数据结合自己所掌握的经验信息对VaR模型进行调整,以期获得的VaR能够更准确地反映市场的风险状况,并据此做出正确的投资决策。