多项式代数在初等数学中的应用

　　多项式代数式高等代数的重要组成部分,与初等数学 有着密切的联系.因此,研究用多项式代数的知识和方法解决初等数学问题是很有意义的.
　　下面就多项式恒等定理证明曲线系过定点及论文联盟*求某些曲线方程;确定一类不等式成立的条件;证明一类等式等应用谈谈其用法.
　　定理1.1设f(x)=a0+a1x+…+anxn,g(x)=b0+b1x+…bnxn是数域F上的两个多项式,则f(x)≡g(x)的充要条件是ai=bi(i=0,1,2…n).
　　 特别地,f(x)≡0的充要条件是ai=0(i=0,1,2…n).
　　一证明曲线系过定点及求某些曲线方程
　　关于曲线系过定点的证明,已经有许多文献论及,但以下方法更为简便.将参数方程按参数降幂整理成关于参数的恒等式,然后利用多项式的恒等定理,令各项系数为零得一方程组,解此方程组即得曲线系所过定点.
　　例1 设a为非负实数,证明曲线y=-ax2-(6a-1)x+5a+1总过两定点,并求出两定点的坐标.
　　证明:将方程构成关于a的恒等式(x2+6x-5)a-(x-y+1)=0对于非零实数a ,上式成立,故由多项式的恒等定理(将a视为变元)得
　　从而,所给曲线恒过定 点
　　例2无论实数k取何值,直线y=2kx+k2总与抛物线y=ax2+bx+c相切,求抛物线方程.
　　解:将y=2kx+k2与y=ax2+bx+c联立,得
　　ax2+(b-2k)x+c-k2=0
　　因直线与抛物线相切,故
　　 △=(b-2k)2-4a(c-k2)=0,即
　　 4(a+1)k2-4bk+b2-4ac=0 ,
　　 因k为任意实数,故上式为关于k的恒等式,即此式不论k为何值总成立.由多项式的恒等定理得
　　解得
　　故所求抛物线方程为
　　2.确定一类严格不等式成立的条件
　　在高等数学中,用小正数ε,δ可将极限定义得十分精确.在初等数学中,

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