| 多项式代数在初等数学中的应用 |
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我们也可借助小正数,使一些难已处理的严格不等式转化为多项式的恒等变形,根据多项式的恒等定理,便可轻易地判断出不等式恒成立的条件.
例3对任意的实数x,y,下面的不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b＞0
恒成立,求常数a,b应满足的条件.
解:为使不等式恒大于0,须使
x2+4xy+4y2+10x+ay+b
为一个实数式的平方加上一个小正数ε可令
X2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+ε（m∈R）,即
X2+4xy+4y2+10x+ay+b=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+ε
根据多项式恒等定理，有 所以,当且仅当 a=20,且b＞25时,题设不等式恒成立.
三．证明一类等式
有一类关于组合数的恒等式,可利用牛顿二项式及多项式的恒等定理方便地给予证明.
例 4求证CnkCm0+Cnk-1Cm1+…+CniCmk-i+…+Cn1Cmk-1+Cn0Cmk =Ckn+m(0≤k≤min{m,n})(※)其中Cnk表示由n个论文联盟*论文联盟*编辑。元素中取k个的组合数.
证明:利用牛顿二项式定理,可得
(1+x)n+m=Cn+m0+Cn+m1x+Cn+mkxk+…+Cn+mn+mxn+m (1)
而(1+x)n(1+x)m=(Cn0+Cn1x+…+Cnixi+…+Cnk-1xk-1+Cnkxk+…+Cnnxn)(Cm0+Cm1x+…+Cmk-ixk-i+…+Cmk-1xk-1+Cmkxk+…+Cmmxm)=C0nCm0+(Cn1Cm0+Cn0Cm1)x+…+(CnKC0m+Cnk-1C1m+…+CniCmk-i+…+Cn1Cmk-1+Cn0Cmk)xk+…+CnnCmmxn+m (2)
由于(1+x)n(1+x)m 上一页 [1] [2] [3] 下一页 |
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