| 平面向量在三角函数中的应用 |
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)2+(253)2=5]，
解得[x=2,x=-143(舍去)],[故CA=(-23,453).]
∵[cosA=BA⋅CA|BA||CA|=-89+809169+809⋅49+809=31414,]
∴[sinA=1-cos2A=7014]．
点拨 这是一道三角函数的问题，但仅用三角函数的知识解答有些困难，引进向量后思路清晰明朗．一般性的解题规律：若已知点[D]在直线[AC]上，且[AD=λDC]，已知[BA]、[BD]、[BC]中的任意两个向量的夹角及任意两个向量的模，都可以求出第三个向量的模，进而为解题带来极大的方便，本题建系解答更能体现向量的巨大作用．
2. 运用向量求角
例2 如图，图画[AB]挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方[a]米处，上边缘在上方[b]米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使得观察者的视角最大（即图中的[∠AOB]最大）？
分析 要求观察者的视角最大值，首先得用三角函数表示出这个角.设[OC=xx>0]，可以得到[∠AOC]、[∠BOC]的正切值，从而用两角的差的正切公式得到[∠AOB]的正切值.当然，由[AB=][OB-OA]平方得，[AB2=OB2-][2OA⋅OBcosAOB+][OA2]，解出[cosAOB]，而[∠AOB∈0,π2]，再结合函数求最值，在用向量解答时，可以考虑建系．
解 设[OC=xx>0]，
则[OA=x2+b2]，[OB=x2+a2]，
而[AB=OB-OA]，
故[AB2=OB2-2OA⋅OBcosAOB+OA2]，
化简得：[cosAOB=x2+abx2+a2x2+b2]，
即[cosAOB=x4+2abx2+a2b2x4+a2+b2x2+a2b2]
[=1-a-b2x2+a2b2x2+a2+b2≥1-a-b22ab+a2+b2]
[=2aba+b]，故当且仅当[x2=a2b2x2x>0]，即[x=ab]时取上一页 [1] [2] [3] 下一页 |
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