例谈三角函数最值问题的求解策略


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例谈三角函数最值问题的求解策略

例谈三角函数最值问题的求解策略

论文联盟*编辑。　三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法。
　　一、可转化为y=Asinωx+φ+B形式
　　形如y=asinx+bcosx的函数可以利用辅助角公式转化成y=a2+b2sinx+φ（其中tanφ=ba）的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型。
　　例1求函数y=sin2x+3sinxcosx－1的最值，并求取得最值时的x值。
　　解：y=32(1－cos2x)+32sin2x－1=32sin2x－12cos2x－12=sin(2x－π6)－12，
　　∴当2x－π6=2kπ+π2,即x=kπ+π3(k∈Z)时，y取得最大值，ymax=12；
　　当2x－π6=2kπ－π2,即x=kπ－π6(k∈Z32。
　　二、可转化为二次函数的形式
　　若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
　　例2函数y=－sin2x－3cosx+3的最小值为（）。
　　(A)2(B)0
　　(C)－14(D)6
　　解析：本题可通过公式sin2x=1－cos2x将函数表达式化为y=cos2x－3cosx+2，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则－1≤t≤1,y=t2－3t+2,配方，得y=t－322－14（－1≤t≤1）&

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