例谈三角函数最值问题的求解策略


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例谈三角函数最值问题的求解策略

例谈三角函数最值问题的求解策略

there4;当t=1时,即cosx=1时，ymin=0,选B。
　　三、利用三角函数的有界性
　　利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
　　四、利用基本不等式法
　　利用基本不等式求函数的最值，要合理地拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。
　　例3已知0＜x＜π，求函数y=9x2sin2x+4xsinx的最小值。
　　解：由0＜x＜π，得xsinx＞0，根据均值不等式y=9x2sin2x+4xsinx=9xsinx+4xsinx≥
　　29xsinx4xsinx=12，当9xsinx=4xsinx，即x2sin2x=49时，等号才成立，即有ymin=12。
　　五、利用函数在区间内的单调性
　　例4已知x∈0,π，求函数y=sinx+2sinx的最小值。
　　解：设sinx=t0＜t≤1,y=t+1t在（0，1）上为减函数，当t=1时，ymin=3。
　　六、数形结合
　　由于sin2x+cos2x=1，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
　　例5求函数y=sinxcosx+2的最大值和最小值。
　　解：y=sinxcosx+2的几何意义为两点P(－2,0),Q(cosx,sinx)连线的斜率k，而Q点的轨迹为单位圆，由图（此略）可知,ymax=33,ymin=－33。
　　七、整体换元法
　　解决sinx±cosx,sinxcosx同时出现的题型：运用关系式sinx±cosx2=1±2sinxcosx,一般都可采用整体换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。
　　例6求函数y=4－3sinx4

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