2009年广东高考数学理科卷第19题研究

　题目:(满分14分)已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xb.记曲线c在点a和点b之间那一段l与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.设点p(s,t)是l上的任一点,且点p与点a和点b均不重合. <br="">　　(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
　　(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值.
　　
　　一、总体分析
　　
　　数学探究性问题是新课程实施后较受重视的一类问题,其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵活多样,是高考命题的热点.2009年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考查考生理解直观与严谨的关系,检测考生的具体形象思维、想象思维与逻辑思维水平;考查考生的推理论证能力、运算求解能力和问题探究能力;考查考生的创新意识和问题解决能力,体现了数学新课程的理念与要求.
　　第(1)问求线段PQ的中点M 的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备已知与未知相互转化的数学思想,就能顺利作答.点P是已知的,点Q是可求的,点M是未知的,且3个点互相关联,用未知点M来表示已知点P,再通过点P的轨迹方程,即可得点M的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求a的最小值,立意新颖灵活,考查学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨能力,对数学问题的探究与质疑、反思能力.
　　从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆G过点A时, a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是本题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭.
　　
　　二、得分情况统计
　　
　　随机选取约33.6万份样卷进行统计,该题满分14分,第(1)(2)问各7分.考生平均得分3.23分,标准差3.18,将0～14分划分为

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