| 2009年广东高考数学理科卷第19题研究 |
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若sin能取到最大值1,则a有最小值-.由于RA=>RN=,故在线段AB上可取点N,使RN==GN,再取GR=a=,则∠GNR=90°,从而sin能取到最大值1,此时a的最小值为-.
(2)若点N与点R重合,则点G 的坐标是(-,2).综合(1)与(2)知, 满足条件的a的最小值为-.
解法5 利用导数求函数极值.
曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=.设线段AB上的动点N(u,u+2),u∈[-1,2],则GN2=(a-u)2+(2-u-2)2= ,即a=u±.
如图2,要使a取得最小值,圆 G应在y轴左边且应与线段AB相交,此时a<u<0,所以a=u-. <br=""> 令a=f(u)=u-,u∈[-1,2],则本题转化为求f(u)在[-1,2]上的最小值.
因为f ′(u)=1+,令
f′(u)=0,得u0=-∈[-1,2].
当u∈[-1,-]时,f ′(u)<0,
f ′(u) 单调递减;当u∈[-,2]时,f ′(u)>0,f ′(u)单调递增.于是a=f(u)在u0∈[-1,2]处取得极小值,而f(u0)=u0-=-,所以满足条件的a的最小值为-.
五、问题拓展
好的数学高考题如同一瓶好酒,越品越香醇. 从发展学生思维的灵活性和提高学生的数学探究能力而言,本题具有很好的研究和教学价值. 现提出以下两个问题供读者研究、品味.
问题1:若圆G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,且其他条件不变,试求a的最大值.
问题2:若圆G′:(x-a)2+(y-2)2=r2与D有唯一公共点B,且其他条件不变,试求a的最大值和最小值.上一页 [1] [2] [3] [4] |
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