当曲线G(即圆G)与D仅有一个公共点时,圆G与D的上边界线段AB正好相切,a取最小值.
解法1 利用等腰直角三角形的性质.
如图1,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,这是一个圆心为G(a,2),半径为的圆.
设圆G与直线l:x-y+2=0相切于点T(xT,yT),线段AB与y轴相交为R,则有 =,即a=±. 因为直线l的倾斜角为45°,则GTR为等腰直角三角形,且T(xT,yT) 为直角顶点. 故xT=a=±.又±∈(-1,2),且-1和2是区域D中点的最小和最大横坐标,所以切点T∈D.故满足条件的a的最小值为-.
解法2利用解代数方程组.
当圆G在y轴左边与线段AB相切,即只有一个交点时,a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0 , 得2x2-2ax+a2-=0 .依题意有=0且a<0,即4a2-8×(a2-),得a=-.
条件“切点T∈D”的判断方法与解法1同,此处略.
解法3 利用T∈D先定a的取值范围.
过点G(a,2)与直线l垂直的直线l′的方程是y-2=-1×(x-a),即x+y-2-a=0.由x-y+2=0x+y-2-a=0 ,解得交点T的坐标xT=,yT=+2.若点 T(xT,yT)∈D,则yT>xT2,即+2>,解得a∈(-2,4).
参考解法1或解法2,可求得a=±.因为±∈(-2,4),故满足条件的a的最小值为-.
解法4 利用正弦定理.
如图2,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,易知点R的坐标为(0,2).依题意,只需考虑a<0的情况. 当a<0且圆G与D有公共点时,圆G与AB必有交点,设此交点为N,则GN=.
(1)若点N与点R不重合, 则在GNR中, 设∠GNR=θ,由正弦定理得=(或=) 故a=sin. 上一页 [1] [2] [3] [4] 下一页 |
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