浅析不定积分的积分方法

一、第一类换元积分法
　　定理1（第一类换元积分法）设f（u）具有原函数，u=φ（x）可导，则有换元积分公式
　　f［φ（x）］φ′（x）dx=［f（u）du］.
　　第一类换元积分公式实质上就是：f［φ（x）］φ′（x）dx=f［φ（x）］d［φ（x）］.
　　第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ（x），那么如何确定φ（x）？方法有如下两种.
　　1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ（x）又含有φ′（x），则我们就可以猜测出新的积分变量为φ（x）.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定积分的被积函数为，因为（lnx）′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ（x）=lnx.
　　解：dx=［lnx］dx=lnxd［lnx］=lnx+C
　　2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ（x）.
　　例如：求sin3xdx
　　分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ（x），即φ（x）=3x.
　　解：sin3xdx=［sin3x］3dx=［sin3x］d［3x］=［sin3x］d［3x］=-cos3x+C
　　二、第二类换元积分法
　　定理2（第二类换元积分法）设函数x=φ（t）单调，可导，且φ′（t）≠0，f［φ（t）］φ′（t）的原函数存在，则有换元积分公式
　　f（x）dx=［f［φ（t）］φ′（t）dt］，
　　其中t=ψ（x）是x=φ（t）的反函数.
　　第二类换元积分公式在何时运

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