| 逻辑学与现代科学的发展 |
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然数、实数、函数。这样,整个数学大厦就建立在集合论的基础之上。例如,自然数0,1,2,……可以分别定义为含有零个、一个、二个元素的集合,即0=,1={},2={,{}}……。注意,这里是没有"数"的概念的,因为集合是人们在思维中可以把握的、彼此不同的对象---人们只要能够思维就可以了,不必为数的实在性和数学的合理性担心。
就在人们额首相庆的时候,数学晴朗的天空响起了一声霹雳---罗素在集合论中发现了悖论。1902年,罗素构造了一个集合S={X:X∈/X},即一切不属于自身的对象所组成的类。当取X=S时,就可以得到S∈SS∈/S,一个命题等价于它自身的否定,这就是著名的"罗素悖论"。罗素悖论存在于逻辑而非数学这个层次之中,它揭示的危机是非常深刻的---数学的基础是集合论,而作为数学基础的集合论内部却包含着矛盾!罗素悖论引发的关于数学基础的危机被称为"第三次数学危机"。为消除罗素悖论又要保留已经充分发展的素朴集合论的内容,E.F.F.策梅罗和A.A.弗伦克尔在1935年建立了集合论形式公理系统ZF。此后,许多数学家和数理逻辑学家致力于对数学基础理论的研究,先后建立了公理集合论、模型论、递归论和证明论等被称为数学逻辑(mathematicallogic,我国学者译为数理逻辑)的基本理论,回答了数学基础的一系列重要问题。
第三次数学危机使人们思考的最重要的问题是逻辑与数学的关系问题。由于对逻辑与数学的关系的不同认识,现代数学基础理论被区分为逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派别。以罗素为代表的逻辑主义坚持认为,一切数学理论都建立在逻辑的基础之上,或者说,从逻辑可以推出全部数学。罗素和怀特海在三大卷的《数学原理》中,从逻辑演算出发,推出了集合论和部分数学理论。后来,W.V.O.蒯因等人又改进了罗素的理论,构造了推理能力更强、又能避免集合论悖论的形式数学系统。以L.E.J.布劳维尔为代表的直觉主义认为,数学是创造性的精神活动,数学独立于逻辑和语言。他们反对把数学归为逻辑,认为证明逻辑系统的无矛盾性需要使用数学归纳法,因此数学先于逻辑。1930年,布劳维尔的学生、著名的直觉主义者A.海廷根据布劳维尔的思想建立了第一个直觉主义逻辑系统。此后,G.根岑、A.塔上一页 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] ... 下一页 >> |
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