微积分的应用

　1.（带皮亚诺型余论文联盟http://wwW.LWlm.cOM项的）泰勒公式其应用
　　定理 若f（x）在x=0点有直到n+1阶连续导数，那么
　　f（x）≈f（0）+f′（0）x+x+…+x+R（x）
　　R（x）=0（x）
　　这就是函数f（x）在x=0点附近关于x的幂函数展开式，也叫泰勒公式，式中R（x）叫做皮亚余项.
　　下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.
　　例1.求
　　解：由于cosx=1-++0（x）
　　e=1+（-）+（-）+0［（-）］=1-++0（x）
　　从而cosx-e=-+0（x）
　　于是===-
　　2.在微分方程中的应用
　　例2.设函数f（u）具有连续导数，而z=f（esiny）满足+=ez，求f（u）.
　　分析：设z=f（u），u=esiny，用一个中间变量代替两个自变量.
　　解:设z=f（u），u=esiny，则=f′（u）=f′（u）esiny
　　=f″（u）esiny+f′（u）esiny，=f′（u）ecosy
　　=f″（u）ecosy-f′（u）esiny
　　+=f″（u）esiny+f″（u）ecosy=f″（u）e=ez
　　即得f″（u）-f（u）=0，这是关于未知函数f（u）的二阶常系数线性齐次微分方程.
　　特征方程：r-1=0，r=-1，r=1，通解为f（u）=ce+ce.

[1] [2] 下一页