微积分理论在不等式证明中的应用

　1.引言论文联盟http://wwW.LWlm.cOM
　　不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。不等式表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式。不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧，以便更好地了解各部分内容之间的内在联系，从整体上更好的把握证明不等式的思想方法。
　　2.微积分在证明不等式中的应用
　　2.1 用导数的定义证明不等式
　　从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始的方法有时又是一种非常有效的证明方法。
　　导数定义：设函数 在点 的某个邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在 可导，称这极限为函数 在点 的导数，记作 。
　　证明方法：
　　(1)找出 ，使得 恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究。
　　适用范围：
　　用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。
　　2.2 利用函数的单调性证明不等式
　　函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数，通过对所设辅助函数求导，借助导数符号来判断函数的单调性，从而解决问题。
　　定理：若函数 在 可导，则 在 内递增（递减）的充要条件是：
　　 .
　　定理：设函数 在 连续，在 内可导，如果在 内 （或 ），那么 在 上严格单调增加（或严格单调减少）.
　　定理：设函数 在 内可导，若 （或 ），则 在 内严格递增（或严格递减）.
　　上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
　　证明方法：
　　（1）构造辅助函数 ，取定闭区间 ；
　　①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；
　　②利用不等式两边相同&ld

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