| 微积分理论在不等式证明中的应用 |
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quo;形式”的特征构造辅助函数（见例3）；
③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）。
(2)研究 在 上的单调性，从而证明不等式。
实用范围：
利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处 的值为0，然后通过在开区间内 的符号来判断 在闭区间上的单调性。
2.3 利用Lagrange中值定理证明不等式
应用Lagrange中值定理求解极限就是将极限当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积 的形式再进行讨论，此时一定要注意：(1)应用Lagrange中值定理必须符合定理本身的条件，否则可能使结论不成立；(2)在随后的极限的求解中一定要论证ξ的变化趋势。
拉格朗日中值定理：论文联盟http://wwW.LWlm.cOM若函数 满足下列条件：（1） 在闭区间 上连续；（2） 在开区间 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得 。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。
证明方法：
①辅助函数 ，并确定 施用拉格朗日中值定理的区间 ；
②对 在 上施用拉格朗日中值定理；
③利用 与 的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式。
适用范围：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。
2.4 利用极值理论证明不等式
证明方法根据极值的充分条件定理。
定理：（极值的第一充分条件）设 在 连续，在 内可导，（i）若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极大值；(ii) 若当 时， ,当 时， ,则 在 取得极小值。
定理（极值的第二充分条件）设 在的某领域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 ， ,(i)若 ，则 在 取得极大值；(ii)若 ，则 在 取得极小值。
极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某上一页 [1] [2] [3] [4] 下一页 |
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