| 微积分理论在不等式证明中的应用 |
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个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。
证明方法
（1）构造辅助函数 ，并取定区间。
①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；
②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；
③当不等式形如 （或 ）（ 为常数）时，可设 为辅助函数。
(2)求出 在所设区间上的极值与最大、最小值.
①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.
②最大、最小值的求法：（1）闭区间 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点 处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间 内可导函数的最大值、最小值的求法：若 在 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点。
适用范围：（1）所设函数 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式。
2.5 利用凹凸性证明不等式
证明方法根据凹凸函数定义及其定理和詹森不等式。
定义：设 为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点 和实数 ，总有 ,则称 为I上的凸函数，若总有 ,则称 为I上的凹函数.
定理：设 为I上的二阶可导函数，则 为I上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I上 。
命题：（詹森不等式）若 在 上为凸函数，对任意的 且 ,则.该命题可用数学归纳法证明。
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系。
证明方法：
①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数 ，并讨论 在所给区间上的凹凸性.
②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.
适用范围：
当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式。
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