| 论高等数学与初等数学的联系 |
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的作用，在高等数学中，我们也要用到待定系数法。
2.1 待定系数法在不定积分中的应用
对于不定积分中的某些被积函数，我们无法直接找到被积函数的原函数，就可以采用待定系数法把被积函数拆成几项，然后再对每一项积分即可。
例4 求
解： = 可分解成 = + （*）其中、为待定系数。将（*）式两端去分母得： = + ，在此式中，令 = 2得 = -5，令 = 3得 = 6，从而 = + ，故 = （ + ） = -5 + 6 = -5|| + 6 || +
2.2 待定系数法在微分方程中的应用
例5 求方程 + = 的一个特解。
解：因方程 + = 的自由项 = 中的 = 0恰是特征方程 + = 0的一个根，故可设原方程的一个特解为 = （） = + 直接将代入所给方程得： + （2）= ，即 + + = 比较系数得：亦即：因此 = 为所求特解。
3 用高等数学方法去求初等数学中的最值
例6 求函数 = 的最大值
解：此题若用初等方法，先计算一阶差分 = = = ，易知0≤≤4时，有＞0，从而＞，即＜＜＜＜＜，而当≥5时又有＞0，从而＜，即：＞＞……由上可见，当 = 5时，取最大值= = ，但这种方法一般不容易想到，若用高等数学的方法去处理，就很容易找到最值点。
另解：对原函数求导得 = = 令 = 0，得 = 0，用求根公式得 = -1+或 = -1，，因函数的定义域为（-∞,+∞），故 = -1+和 = -1将其分为三个区间（-∞,-1]，[-1,-1+]，[-1+,+∞）。
当∈（-∞,-1）时，＜0函数在（-∞,-1]上单调减少；当∈（-1,-1+）时，＞0函数在 [-∞, -1]上单调增加；当∈（-1+,+∞）时，＜0函数在[-1+,+∞）上单调减少。
由此可知：在（-∞,+∞）内存在最大值，而又只有一个极大值点 = -1+ ，所以当 = -1+时也为最上一页 [1] [2] [3] 下一页 |
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