在假设前提的基础上对引力模型进行整理后，得到以下公式（2-2）：

oi=i地的总铁路运输货物发出量（t）
dj=j地的总铁路运输货物收到量（t）
等式两边取对数：
-------（2-2）
通过多重回归分析可以拟合获得α、β、γ以及常数项lnk对应的值。
oi=f(acti) dj=g(actj)-------（2-3）
acti：i区域的影响因素；actj：j区域的影响因素
f（）、g（）：通过回归分析得到的值
诸影响因素是通过对人口、地区gdp、地区各产业gdp、人口密度等因素进行回归分析，选取影响力最大的因素。
（三）各参数处理
地区间距离、引力模型的参数，运输来回的货物量均采用现实统计的数据。
(1)地区间距离使用各省的省会或首府城市间的距离计算。
(2)引力模型的参数是以各地域的总货物发出量、总收到量、地区间距离为因变量，以货物量为自变量通过多重回归分析计算而来。
(3)铁路发出与收到货物数的估计式。各个影响因素进行回归分析，取决定系数较大的影响因素进行组合，构成预测等式。
（四）铁路货物运输量推算
1.导入煤炭影响因素的验证
根据2-3选择影响铁路货物的运输量的主要因素：
(1)有关人口的指标（总人口、城市化率、人口密度、第一产业从业人数、第二产业从业人数、第三产业从业人数）(2)经济发展的指标（人均gdp、第一产业gdp、第二产业gdp、第三产业gdp、平均工资、平均消费）。
对以上的(1)和(2)的指标进行多重回归分析，结果见表2-1。为了进行验证制作残差图，见图2-1。

表2-1 因变量为货物发出量时的影响因素分析

图2-1 因变量为货物发出量时的标准残差图

通过表2-1与图2-1可见，各系数较低，且残差较大。特别是山西省的残差非常大。
试着分析其产生的原因：山西省是中国最重要的煤炭产地，其产煤量非常大，且每年向其他区域的发送量多。这个因素影响了多重回归分析的结果并造成较大的残差。因而，煤的生产量对铁路货物运输量带来非常大的影响。
运用同样方法可以发现河北省由于拥有庞大的冶金和化工基地，且电力耗煤较大导致原煤调入量非常大，对铁路货物的收到量产生较大影响。
综合以上分析，要解释铁路货物运输量，只考虑人口与经济发展的指标是不够的，煤的指标也是影响铁路货物运输量的重要指标。煤的供需在中国经济中不可缺少，传统经验认为煤的增产以及运输能力的保证是经济发展的钥匙。
2.铁路运输发出货物的影响因素方程
首先将前述的各因素作为自变量(总人口、城市化率、人口密度、人均gdp、第一产业从业者、第二产业从业者、第三产业从业者、平均工资、平均消费、第一产业gdp、第二产业gdp、第三产业gdp、煤炭生产量、煤炭调入量)，铁路运输发出货物为因变量进行多重回归分析，建立解释铁路货物发出量的模型。
通过对修正决定系数的比较，最终选定总人口、第一产业从业者、煤炭生产量三个变量作为自变量进行分析，结果如2-2表所示

dw值通过验证，说明不存在一阶自回归。提取其中的偏回归系数和常数项组成等式：
----------（2-4）
0：铁路运输发出货物量
x1: 总人口 x2：第一产业从业者 x3：煤炭生产量
根据式(2-4)，铁路运输发出货物量与总人口、煤炭生产量呈正比关系，与第一产业从业者数呈反比关系。
3.铁路运输收到货物的影响因素方程
同理经过比较偏回归系数，确定了解释铁路运输收到货物量的因素：总人口、第二产业从业者、第二产业gdp、煤炭调入量。结果如表2-3所示

dw值同样通过检验，证明不存在一阶自回归现象。提取其中的偏回归系数和常数项组成等式：
-----（2-5）
d：铁路运输收到货物量
x1: 总人口 x2：第二产业从业者 x3：第二产业gdp x4：煤炭调入量
根据式(2-5)，铁路运输收到货物量与总人口、第二产业gdp、煤炭调入量呈正比关系，与第二产业从业者数呈反比关系。

三、上海未来铁路货物运输能源消费量预测
（一）各省总人口的预测
根据铁路货物发出与收到量推算模型，总人口参数在各参数中的解释力相对较强，故首先对未来人口的变化趋势进行预测。
本研究的预测方法采用logistic增长曲线模型，俗称“s曲线”。该模型是于1945年由比利时数学家verhulst推导出来的，于20世纪20年代被重新发现并广泛应用。
以下为logistic方程推导过程:
此为logistic方程的微分形式①
y：人口数 a：待求参数 t：表示时间 r：增长率
根据牛顿-莱布尼茨公式可得 ②
③
设，则得到:
--------------（4-1）
通过spss统计分析软件对各个省级行政区人口数的历史指标进行非线性拟合可得到a、b、r的数值，并建立各个省级行政区不同的logistic推算方程并预测2020年人口数。
（二）其它因素的推算
1.煤炭调入量根据各省级行政区2000-2008年的平均增长率，按比例推算。
2.煤炭生产量根据2000-2008年的平均增长率，并结合国土资源部《全国矿产资源规划》相关政策进行推算。
3.通过观察，第一产业从业者几年来基本保持不变、第

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