| 数学归纳法在中学数学中的应用 |
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式
应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种，严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。对于非严格不等式而言，情况略显复杂。
例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正数，试证：
+++…≥x1，x2，x3…，xn
证明：（1）当n＝1时，因为＝x1，所以原不等式成立（取等号）
（2）假设当n＝k时原不等式成立，即
+++…≥x1，x2，x3…，xk
那么，当n＝k+1时，不等式的左边
+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）
显然，只要证明
+≥xk-1
原不等式即可得证。但此式难以直接证明，经仔细观察发现，原不等式关于变量x1，x2，x3…，xn是轮换对称的，于是不妨设xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，则xk-12-xk2＞0。
+≥+＝＝xk-1
故当n＝k+1时，不等式也成立。即原不等式对于所有自然数都成立。
三、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。这类问题涉及到整除性的知识，如果a能被c整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项去项进行”配凑“，使之能够获证。
例3：证明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。
证明：（1）当n＝1时，f（n）＝5n+2•3n+1＝8显然能被8整除，命题成立。
（2）假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，当n＝k+1时，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1
＝5•5k+6•3k+1+4•上一页 [1] [2] [3] [4] [5] 下一页 |
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