| 数学归纳法在中学数学中的应用 |
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3k-1-4•3k-1
＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4
＝5•f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n＝k+1时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
四、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
例4：证明凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n-3）.（n≥3）
证明：（1）当n＝3时，f（3）＝0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。
（2）假设：当n＝k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）＝k（k-3）。那么当n＝k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k－2个顶点A2，A3，A4，…，Ak－1可画出k－2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为：
f（k+1）＝f（k）+（k+1）
＝k（k-3）+（k-1）
＝（k2-k-2）
＝（k+1）（k-2）
＝（k+1）[（k+1）-3]
这就是说，当n＝k+1时，命题也成立。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n＝k到n＝k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
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