| 最优代数免疫布尔函数的完全构造 |
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bda;1x1+λ2x2+…+λnxn。
在单变元多项式表示下， f的Walsh变换定义为Wf(λ)=∑x∈F2n(－1)f(x)+tr(λx)，其中tr(α)=∑n－1i=0α2i,α∈F2n。非线性度是衡量布尔函数的密码学性质的重要指标, f∈Bn的非线性度定义为nl(f)=min{d(f,g):g∈An}。它也可以用Walsh表示为nl(f)=2n－1－12max{Wf(λ)}，nl(f)≤2n－1－2n2－1。
设f∈Bn，满足f(x)g(x)=0的非0函数g称为f的零化子。 f的所有零化子的集合记作An(f)。代数攻击的主要思想利用布尔函数的零化子，得到一个关于初态和输出密钥流序列的代数次数比较低的方程，从而减少多变量方程中变元的个数［4］。零化子代数次数越低，所得超定方程组的变元个数越少,代数攻击的复杂度越低。人们用代数免疫度来衡量布尔函数抵抗代数攻击的能力，定义如下。
定义1 设f∈Bn， f的代数免疫度记为AI(f)，它是f的零化子和f＋1的零化子中代数次数最低的零化子的次数，即：
AI(f)={min deg(g)|g∈An(f) or g∈An(f+1)}
布尔函数f的代数免疫度越大，函数抵抗代数攻击的能力越强；反之越弱。定理1是代数免疫度的一些性质。论文联盟*
定理1［5-6］ 设f∈Bn，则：
1)AI(f)≤「n/2；
2)设d<「n/2为整数，若AI(f)>d，则有∑di=0Cin≤W(f)≤∑n－(d+1)i=0Cin。
2 MAI布尔函数构造方法
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