| 最优代数免疫布尔函数的完全构造 |
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Carlet等［8］利用布尔函数的单变元表达式以及代数编码的相关结论，构造出一类具有最优代数免疫的布尔函数。
定理2［8］ n为正整数，α为F2n的一个本原元。设f是F2n上的一个单变元多项式函数，其支撑集为{0,1,α,α2,…,α2n－1－2}，则f具有最优代数免疫「n/2。
显然定理1中构造的函数是平衡函数，并且文献［8］还说明函数f具有较高的代数次数deg(f)=n－1和较高的非线性度nl(f)≥2n－1－(ln 2)n•2n/2－1。
文献［8］中还给出了定理2中函数的一般形式。
推论1 n为正整数，α为F2n的一个本原元。设f是F2n上的一个单变元多项式函数，其函数取值满足：对于任意的0≤i≤2n－1－1,
f(x)=0, x∈{αi,αi+1,…,αi+2n－1－1}1,其他
则AI(f)=「n/2。
定理2利用BCH码的相关知识得到一类代数免疫达到最优的平衡函数。下面深入分析定理2中的方法，讨论布尔函数具有最优代数免疫时的判别条件，特别是在变元个数为奇数时，得到布尔函数函数代数免疫达到最优的等价判别条件。
设n为正整数，α为F2n的一个本原元。设f是F2n上的一个单变元多项式函数，其函数取值如定理1中所述，若g是f的零化子，则满足方程组式(1)，即：
111…1
1αα2…α2n-2
1α2(α2)2…(α2)2n-2
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