最优代数免疫布尔函数的完全构造


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最优代数免疫布尔函数的完全构造

最优代数免疫布尔函数的完全构造

n-1-2)2…(α2n-1-2)2n-2
　　
　　g0g1g2︙g2n-2=0(1)
　　
　　以(g0,g1,…,g2n－2)为变量的方程组的解空间是设计距离为2n－1的BCH码。此时矩阵
　　
　　H=111…1
　　1αα2…α2n-2
　　1α2(α2)2…(α2)2n-2
　　︙︙︙︙
　　1α2n-1-2(α2n-1-2)2…(α2n-1-2)2n-2
　　
　　
　　的任意2n－1－1列都可以转化为是Vandermonde行列式，且αi≠αj, i≠j，故矩阵H的任意2n－1－1列都线性无关，故该BCH码的最小距离≥2n－1，即每个零化子的系数(g0,g1,…,g2n－2)的汉明重量都≥2n－1。从而至少存在一个i，满足w2(i)≥「n/2+1，且gi≠0。由此可知deg(g)≥「n/2，即f没有代数次数<「n/2的零化子。
　　定理2中要求其任意2n－1－1列都线性无关这个条件非常强，该条件可以适当减弱。事实上，对于一般情况， f是F2n上任意一个平衡单变元多项式函数，其支撑为{α1,…,α2n－1}，其中αi∈F2n，i=1，…，2n-1。讨论f是否达到最优代数免疫即讨论是否存在代数次数<「n/2的零化子。记g∈Bn是f的零化子，其单变元多项式表示为g(x)=∑2n－1i=0g

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